School

Момент на импулса ($\vec{L},[\frac{\text{kg}\cdot \text{m²}}{\text{s}}]$) - физична величина, характеризираща количеството въртеливо движение

а) на материална точка

$$\vec{L}\stackrel{\text{def}}{=}\vec{r}\times \vec{p}$$

• посока - определя се по правилото на дясната ръка
• големина: $L=mvr\sin \varphi$

Въртящ момент / момент на сила ($\vec{\tau },[\text{N}\cdot \text{m}]$) - величина, характеризираща въртеливото движение, което дадена сила придава на тялото, върху което въздейства

$$\vec{\tau }\stackrel{\text{def}}{=}\vec{r}\times \vec{F}$$

а) рамо на силата ($l$) - разстоянието между оста на въртене и правата, по която действа силата

б) големина

$$\tau =Fl$$

• сила, която действа така, че да завърти тялото по посока, обратна на часовниковата стрелка, има положителен въртящ момент
• сила, която действа така, че да завърти тялото по посока на часовниковата стрелка, има отрицателен въртящ момент

в) посока - палецът на дясната ръка сочи по посока на вектора на въртящия момент, когато останалите пръсти се насочат по посока на $\vec{r}$ и се свият в посока на силата

г) ефект върху момента на импулса - въртящият момент е промяната в момента на импулса

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\tau }$$ Доказателство: $$\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d(m\vec{r}\times \vec{v})}{dt}=m\frac{d\vec{r}}{dt}\times \vec{v}+m\vec{r}\times \frac{d\vec{v}}{dt}=m\vec{v}\times \vec{v}+m\vec{r}\times \vec{a}=\vec{r}\times m\vec{a}$$

Закон за запазване на момента на импулса - моментът на импулса в затворени системи остава постоянен във времето

Доказателство:

Промяната на момента на импулса на едно тяло е сбора от въртящите моменти, които му действат: $$\frac{d{\vec{L}}_1}{dt}={\vec{r}}_1\times {\vec{F}}_{21}+...{\vec{r}}_1\times {\vec{F}}_{n1}$$ $$\frac{d{\vec{L}}_2}{dt}={\vec{r}}_2\times {\vec{F}}_{12}+...{\vec{r}}_2\times {\vec{F}}_{n1}$$ $$\frac{d{\vec{L}}_n}{dt}={\vec{r}}_n\times {\vec{F}}_{1n}+{\vec{r}}_n\times {\vec{F}}_{2n}+...$$ Като съберем всички уравнения, ще имаме двойки въртящи моменти от вида $${\vec{r}}_i\times {\vec{F}}_{ji}+{\vec{r}}_j\times {\vec{F}}_{ij}={\vec{r}}_i\times {\vec{F}}_{ji}-{\vec{r}}_j\times {\vec{F}}_{ji}=({\vec{r}}_i-{\vec{r}}_j)\times {\vec{F}}_{ji}=\vec{0},$$ тъй като ${\vec{F}}_{ji}$ е колинеарна с ${\vec{r}}_i-{\vec{r}}_j$. Като съкратим всички двойки въртящи моменти, $$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}$$

а) при отворени системи - производната на момента на импулса е равна на сбора от всички външни въртящи моменти

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\sum {\vec{\tau }}_{ext}$$